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2007年1月 7日
外接円[再]
この前の外心を求める式があまりにおかしな間違いをしていたので、もう一度求めてみる。
これを展開して、
β^2 - γ^2 ＝ 2X(β - γ)
X ＝ (β^2 - γ^2) / 2(β - γ)
Xは、外心。
絶対値の二乗を展開したら複素数にはならん!! フツーに複素共役を掛けることが忘却されてた…こんなんではもう大学に絶対行けない。
そういえば、∠B×2＝∠AOCなんてのもあったな…
この計算を複素数を使ってすることにしよう。
e[β] ＝ (β - X) / | β - X | ,
e[γ] ＝ (γ - X) / | γ - X | ,
e[AB] ＝ (β - α) / | β - α | ,
e[AC] ＝ (γ - α) / | γ - α |
e[x]は、外心を中心として半径1の円を書いたときの、xと中心とを通る直線の交点。つまりは単位ベクトル。
オイラーの公式から(そんなん使わなくても公式として習うけど)、 e^(i2θ) ＝ (e^(iθ))^2 (⇔ 2arg(a) ＝ arg(a^2))なので、
e[β] / e[γ] ＝ (e[AB] / e[AC])^2
両辺を展開して、
((β - X) / | β - X |) / ((γ - X) / | γ - X |) ＝ ((β - α) / | β - α |) / ((γ - α) / | γ - α |)
| β - X | ＝ | γ - X | ＝ 外接円の半径、またc ＝ | β - α | 、b ＝ | γ - α | なので両辺を整理すると、
(β - X) / (γ - X) ＝ A((β - α) / (γ - α))^2 , A ＝ (b/c)^2
さらに整理して、
X ＝ (β(γ - α)^2 - Aγ(β - α)^2) / ((γ - α)^2 - Aγ(β - α)^2)
ま、これでちゃんと外接円が描けるかどうかは実装してのお楽しみ。
By ただ at 21:37 カテゴリー ; mein Erbe
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